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zoom RSS 円周率の小数点以下に連続する数字を探してみると、その出現確率は・・・

<<   作成日時 : 2015/02/28 23:30   >>

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円周率は3.1415・・・・と続き、その数字の連続は方程式により求めることができるのだが、私たち素人には0から9の数字が規則性なく並んでいるように見える。しかし、この数字の並びは、方程式で計算できることからもわかるように、決められた規則でならぶ無限に続く数字列である。

この数字に、私たち素人の目から見ても同じ数字が連続して並んでいる部分を見て取ることができる。その数字の並びがどのくらいの頻度で出現できるかを知ることは私にとっては興味深いことである。

どこかのサイトにいけば、その答えはきっと記されていることと思う。

だが、このたび、そのサイトを探索するよりも、自力で探したほうが時間的に早そうなので、簡単なプログラムを組み、実際に探してみた。

円周率100万桁表にある数値を利用した。

得られた結果は下に示したとおりである。

0と記しているのはこの百万桁に0が何回出現するか、00は0が2個連続する出現回数を示す。00000と数字が5個以上並ぶ場合には、その出現する位置を小数点以下何桁目かで示している。1に関してはその出現回数が80680となっているが、プログラムを簡略化したため、実際には3.14の1がカウントされていない。したがって、80681が正解である。

なお、100万桁に含まれる0〜1の個数は次のとおりである。

   0       1       2       3       4
   99959   99758   100026  100229  100230

   5       6       7       8       9
   100359  99548   99800   99985   100108

さて、現れた連続する数値の特徴であるが、5個連続する数字では、11111、66666の出現頻度が高い。6個連続する数字では、0と3はゼロ回であるが、1、2、4、5(3回)、6、7(2回)、8、9(2回)となっている。特に、9は小数点以下762桁目と非常に早い段階にこの6連続数字が表れる。これをファインマン・ポイントと呼ぶそうである。


ファインマン・ポイント(Wikipedia)には、次の記載がある。

ファインマン・ポイントは、同じ数字が4個あるいは5個並ぶ最初の桁でもあり、つぎに同じ数字が連続して4個並ぶのは、1,589桁目から始まる「7」である。

「9」が1個、2個、3個、…、9個連続して並ぶ最初の桁は、それぞれ、5桁目、44桁目、762桁目、762桁目、762桁目、762桁目、1,722,776桁目、36,356,642桁目、564,665,206桁目である。

τでは、連続する7個の「9」の並びが761桁目から始まる。ちなみに、円周率で最初に現れる連続する7個の数字は、710,100桁目から始まる「3」である。

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実際に下の計算結果でも3333333の出現位置はそのようになっている。

いま、たとえば999999という数字列があるかないかを、100万桁の連続数字の中に探すとき、数字を一つずつ繰り下げながら確認していくわけであるから、その確認に供する6桁の数字列の数は、100万ー6+1≒100万となる。そして、9という数字の出現確率は(1/10)であるから、999999の出現する期待確率は(1/10)の6乗、すなわち100万分の1となる。したがって、100万桁の数字並びの中に6桁の数字が1回確認されるのは期待値から考えて道理である。

さらに、100万桁の中にミニ円周率を探してみた。31425は9個見つかり、314159は1個見つかった。314159も6桁の数字の並びであるから、その期待される出現回数は1回である。



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