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zoom RSS 不規則性とは何か? 円周率数値並びは乱数として用いるに十分に不規則か?

<<   作成日時 : 2015/03/01 23:20   >>

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「乱数」という言葉がある。これは不規則性を表す概念である。たとえば、下の絵のAは不規則とは言えない。黄色と赤色が上下に分離しているので、非常に規則的である。ならばCの絵はどうかというと、こちらも黄色と赤色は十分に混合しているようには見えるのだが、黄色の周りには必ず赤色があり、赤色の周りには必ず黄色がある構成となっているから、この絵Cも十分に規則的だということになる。そうすると、不規則性とは絵Bのような状態をいうことになるのだが、どのような混合状態であれば十分に不規則といえるのだろうか。物理や化学の分野でいうとエントロピーが最大になるような混合状態というのが答えとなるのだろう。

画像


0から9までの10個の数字が不規則に表れる状態は作り出せるのだろうか。この不規則性を含んだ数字の並びは一般には乱数といわれ、乱数表なるものも存在する。10個の数字が示す、このエントロピーが最大となるような混合状態(乱数)を評価する方法があるのだろうか? きっと数学的には、もう解決された問題かもしれないが、

1.円周率の小数点以下の数値は乱数表としての使用は可能か?
2.Excelの持つ乱数発生機能Rndで発生できる乱数は十分に不規則か?

の2点に焦点をあてて検討を試みた。

具体的には、円周率では小数点以下の100万桁の数字を、Excelでは乱数発生機能を使って発生させた100万桁の数字を使ってその不規則性を確認した。次の2点に注目した。

1.100万桁に現れる0〜9の数字の個数
2.ある数字の後にある数字が表れる回数とその偏り


得られた計算結果は下に示したとおりである。

図1は円周率について、ピンクで塗りつぶした部分は0〜9の数字が表れた個数(回数)である。100万桁であるから平均すると1数字あたりの期待出現個数は10万個である。
同じく、図1のブルーで塗りつぶした部分が、ある数字(縦軸の数字)の後にある数字(横軸の数字)が表れた回数である。こちらの期待出現回数は1万回である。

図2は実際の出現回数より期待出現回数を引いた値である。この得られた数値の凸凹をみれば、乱数の程度が判断できると考えた。凸凹の小さなものをヨシとする。そこで、この図2のピンク部分とブルー部分の数値の絶対値をとって足し合わせてみた。こうすることにより、おおよその判断はできるだろう。ピンクの部分の絶対値の合計を外れ値合計、ブルーの部分の絶対値の合計を連続数値外れ回数合計と表現し、下表にその結果をまとめた。

図3と図4は同じように、Excelの乱数発生機能を用いて発生させた乱数を処理したものである。

図5と図6は、私が独自の数式を作り同じく100万桁の乱数を発生させ、その乱数度を見たものである。

結果は、
                   0〜9出現外れ値合計  連続数値外れ回数合計  備考
     円周率100万桁      1900            7679
     Excelで100万桁     2150〜2930      97687〜99109    5回実施
     独自式100万桁     2795〜3605       8587〜 8933    3回実施

Excelで発生させた数字0〜9の出現率は、独自式で発生させた数字の出現率よりも均等であるが、円周率での出現回数のほうがより均等である。数字の出現規則性(一番最初の図でいえば黄色と赤色の混合状態)は円周率100万桁がすぐれ、Excelは遠く及ばない。円周率の数字を乱数表として用いたほうが、Excelの乱数機能を用いるよりもよりRandomnessである可能性がある。

コンピュータでの計算時間を考えれば、円周率の数字より乱数を作り出すよりも、Excelで発生させた乱数を用いるほうが時間的に短くて済む。今回私が作った独自式は、Excelの乱数機能と同様、計算により乱数を発生させるものであり、連続数値外れ回数は円周率100万桁に迫っていることから、計算時間を考慮すると十分に乱数発生式として使用できる可能性を秘めている。


Excelによる乱数の発生

   Randomize
   Int(Rnd*10)



円周率数字 100万桁

図1
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図2
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Excelの持つ乱数発生機能 100万桁

図3
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図4
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独自に作った乱数式より 100万桁

図5
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図6
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モンテカルロ法で円周率を求めてみるが、乱数発生に問題あり??
モンテカルロシミュレーションを用いて円周率を求める話である。なんといっても、モンテカルロシミュレーションの命は乱数である。乱数がどれだけ不規則かで計算結果の精度が決まる。 ...続きを見る
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2015/03/05 23:19

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コメント(1件)

内 容 ニックネーム/日時
0から9までの一桁の数字の乱数は発生させる乱数の数を制限すれば不規則と言えるが無制限に発生させれば限られた数の数字故に繰り返しの数字が表れて不規則ではない。
匿名
2015/03/02 09:06

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