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zoom RSS 素数の大きさには限りがなく、果てしなく続いていくが・・・

<<   作成日時 : 2014/02/27 20:05   >>

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素数はRSA暗号の構築に使われるなど、素数それ自身が持っている魅力とは別に、今日では実用的にも重要な位置を占めています。

素数と聞くと、ボケ防止ではありませんが、頭の中で、2、3、5、7、・・・・とどこまで勘定できるかをよく試したものです。でも、数字が大きくなるにつれてだんだんと計算に時間が掛かり、求めた素数の間隔もどんどん開いていくような印象を受けたものです。

素数の理論については、素数(Wikipedia)に詳しく書かれていますし、また多くの書籍も発行されています。Wikipediaでは、素数の分布については次のように書かれています。

素数の分布

ある自然数までにどのくらいの素数があるのかという問題は、基本的だが非常に難しい問題である。素数のない、いくらでも長い区間が存在する。例えば、n ≥ 2 に対して、連続する n − 1 個の自然数 n! + 2, …, n! + n はそれぞれ、より小さい 2, …, n で割り切れるので、どれも素数でない。また、比較的小さな数では、114 から 126 まで13個連続で合成数である。

これに関して、次の素数定理は有名である。この定理は1896年に、アダマールとド・ラ・ヴァレ・プサンによって独立に証明された。

x 以下の素数の個数を π(x) とすると、
画像

この定理は、1792年に15歳のカール・フリードリヒ・ガウスによって予想されていた(ガウスが最初に予想したのかどうかは不明)。この定理の証明は、ゼータ関数と複素関数論を用いる高度なものであったが、1949年にアトル・セルバーグとポール・エルデシュは独立に初等的な証明を与えた。この評価式はリーマン予想を仮定すると大幅に精度をよくすることができる。

次のような定理もある。
「任意の自然数 n に対して、n < p ≤ 2n を満たす素数 p が存在する」(ベルトランの仮説、チェビシェフの定理)
この主張は「任意の素数 p の次の素数は 2p 未満」とも言い換えられる。したがって、現在知られている最大の素数 257885161 − 1 の次の素数は 257885162 − 2 未満である。

しかしながら、例えば n2 と (n + 1)2 の間に素数が存在するかという問題は未解決である。



このような理論がある中で、自然数を600個ごとに区切っていくと、どんない自然数が大きくなっても600個の中に素数が2つ含まれる可能性がありますよ。そしてその含まれる確率はどこまで行ってもというのですから、驚きの発見であり、また、その証明をしたということはこれまた驚きです。

画像
からすると素数間の感覚はどんどん開いていく感じですが、それでも、自然数がどこまで大きくなっても、その付近に存在する素数の間隔が600以内であるという発見・証明をしたということは尊敬に値します。

どの分野でも、今までの常識を覆して面白いことが起こるものです。






河北新報社 2月26日

素数の間隔で新定理発見 極端な偏りなく分布、米英数学者

 1とその数自身以外では割り切れない2以上の自然数「素数」が、どのような間隔で分布するかに関する新たな定理を米英の2人の数学者が26日までに見つけた。数学者からは「教科書を書き換える」との声も上がる成果。素数は小学校でも習う基本的な数だが、謎も多い。新定理の結論は理解しやすい内容で、幅広い関心を集めそうだ。

 数が大きくなると、素数はまばらにしか見つからない。1〜100の100個の中には2、3、5など素数は25個あるが、同じ100個でも、10万1〜10万100には素数は6個しかない。では数が大きくなると、素数の間隔は際限なく離れていくのか。新定理は「そんなことはない」と否定する結果を示した。

 例えば、ある素数と次に大きい素数の2個を考える。19なら次は23で、19〜23の5個の中に2個の素数がある。だが数が大きくなっても、5個の自然数が並んだ中に素数が2個あるかは分からない。新定理では、どんな大きな数でも、600個ごとに区切ると素数が2個含まれる場合があると分かった。必ず2個あるわけではないが、2個の素数が含まれる600個ごとの区間は無限に存在する。今後の研究で、区間の幅はもっと狭まる可能性があるが、現時点では600が最小の幅という。

 数学者の本橋博士は新定理について「素晴らしいひらめきがないと絶対に気づかない。夢のような成果だ」と話している。



素数(Wikipedia)

100以下の素数は、小さい順に次のようになる。
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97(オンライン整数列大辞典の数列 A40)
さらに、1000 以下の素数は以下の通りである。
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997


さらに大きな素数は、素数一覧

2  〜
9999317 9999337 9999347 9999397 9999401 9999419 9999433 9999463 9999469 9999481 9999511 9999533 9999593 9999601 9999637 9999653 9999659 9999667 9999677 9999713 9999739 9999749 9999761 9999823 9999863 9999877 9999883 9999889 9999901 9999907 9999929 9999931 9999937 9999943 9999971 9999973 9999991 まで、示されています。


素数(Wikipedia)より、

2013年12月現在で知られている最大の素数は、2013年1月に発見された、現在分かっている中で48番目のメルセンヌ素数 2の57885161乗 − 1 であり、十進法で表記したときの桁数は1742万5170桁に及ぶ。


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2016/01/25 20:24

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